1、求证：2的幂次的数字和是没有上届的。

(资料图片仅供参考)

2、这下，很自然想到反证法，“假设有上界”，怎么找一个更大的呢？如果有一个2的幂，它的长相是一个1后面一堆0，再一堆别的，使得后面的那一堆乘上已有的数字和最大的那个2的幂以后，后面一堆不影响前面的1乘上已有的2的幂，那么前面的1乘上2的幂数字和就是“最大”，后面又不都是0，就行了。

3、如何找1后面一堆0的2的幂呢？利用lg2是无理数，加上前述结论，就ok。

4、在以上的思路中，反证是自然的，然后要找一个更大的，那么找100…也很自然，一切水到渠成。

5、大家可以体会一下这里面的思路。

6、又比如，之前有一个集训队的题目：证明：不存在长40项的等差数列，使得其每一项都可以表示为一个2的幂次和一个3的幂次之和。

7、这里不详细写了，只要看到，虽说乍一看可以一个指数少一些，一个指数多一些，最后让这些数差不多，但实际上，如题意的数的分布是很“稀疏”的，可以从大小上找到矛盾。

8、指数增长太快是主要矛盾。

9、又比如，2010年的CMO第三题，先把它看做一个函数，然后看它的“走势”（即导数），发现很有可能是在边界取极值，经过一些“不妨设”，（设b,c为实数）可以发现bz+cz2是一个关于x轴对称的图形，要求其边界上任一点到-a距离不足1，于是不妨a是实数。

10、这样abc都是实数了，后面就好做了。

11、或者考虑，z绕着单位园“走一圈”，bz+cz2也走一圈，要选取一个a使得bz+cz2边界上任一点到-a距离不大于1，那么bz+cz2边界上任两点距离不大于2，取恰当的z…又是一种方法。

12、举了这些例子，主要是想说，大家做题时要明白这个题到底在让你干什么，有一个形象化的认识，看的越清楚越深入，越有可能把题做出来。

13、下面几点也比较重要。

14、要知道一些“熟知”的结论，比如2013年CMO第五题，明显是两个陈题拼凑在一起，痕迹明显。

15、这时候，知道一些小性质小结论会很有帮助。

16、所谓题海战术，除了刷熟练度以外，就是为了见多识广一些。

17、当然，我本人没有用过“题海”，我的建议是，至少要把最经典的一些结论知道。

18、联赛前发过两页总结，提到了部分必回的结论，这里就不赘述了。

19、要会审题。

20、其实跟刚才所说“慧眼”很像，但这里更偏指从条件和结论入手，找一些突破口。

21、比如今年的CMO第六题，结论明显是与抽屉原理有关，所以一开始就应该往抽屉这边想（当然了，也需要进一步的观察）。

22、灵活思考。

23、一条路走不通（当然了，一般是过了一个小时以上毫无进展）可以考虑尝试其他的途径。

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